Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết MN = a căn bậc hai của 3. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Đáp án: 0,5

Gọi \[P\] là trung điểm\[AC\], ta có \[PM{\rm{//}}CD\] và \[PN{\rm{//}}AB\], suy ra \[\left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \left( {\widehat {PM,PN}} \right)\].

Dễ thấy \[PM = PN = a\].

Xét \[\Delta PMN\] ta có \[{\rm{cos}}\widehat {MPN} = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} =  - \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow \widehat {MPN} = 120^\circ  \Rightarrow \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ  \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \cos 60^\circ  = \frac{1}{2} = 0,5\].