Trong không gian \(Oxyz\), trạm phát sóng tại \(I\left( {2;1;12} \right)\), 1 đơn vị = 10 m. Bán kính phát sóng \(R = 130{\rm{ m}} = 13\) đơn vị. Mặt đất là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\).

a) Đúng. Mặt cầu giới hạn vùng phủ sóng có tâm \(I\left( {2;1;12} \right)\) và bán kính \(R = 13\):

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 12} \right)^2} = {13^2} = 169\).

b) Sai. Giao của mặt cầu với mặt đất \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) là hình tròn có tâm \(H\left( {2;1;0} \right)\), bán kính

\(r = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = 5\) đơn vị = 50 m.

Vị trí ban đầu \(M\left( {3;1;0} \right) \Rightarrow HM = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1{\rm{ }}\)đơn vị = 10 m.

Tốc độ di chuyển \(v = 3,6{\rm{ km/h}} = 1{\rm{ m/s}}\). Sau \(40{\rm{ s}}\), quãng đường đi được là \(s = 40{\rm{ m}}\).

Khoảng cách tối đa từ \(H\) tới người sau \(40{\rm{ s}}\) là \({d_{\max }} = HM + s = 10 + 40 = 50{\rm{ m}} = r\). Do đó người này vẫn luôn ở trong vùng phủ sóng (chưa đi ra ngoài).

c) Sai. Điểm \(N\left( {8;9;0} \right)\) có khoảng cách đến tâm \(H\left( {2;1;0} \right)\) là:

\(HN = \sqrt {{{(8 - 2)}^2} + {{(9 - 1)}^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) đơn vị = 100 m.

Khoảng cách ngắn nhất từ \(N\) đến vùng phủ sóng là:\(d = HN - r = 100{\rm{ m}} - 50{\rm{ m}} = 50{\rm{ m}}\).

d) Đúng. Vận tốc \(v = 1{\rm{ m/s}} = 0,1{\rm{ }}\)đơn vị. Thời gian trong vùng phủ sóng là \(60{\rm{ s}}\), suy ra chiều dài đoạn đường trong vùng phủ sóng (dây cung của đường tròn đáy) là \(L = 60 \times 0,1 = 6\) đơn vị.

Khoảng cách từ tâm \(H\left( {2;1;0} \right)\) đến đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {H,AB} \right) = \sqrt {{r^2} - {{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Đường thẳng \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) đi qua \(A\left( {6;9} \right)\) và \(B\left( { - 4;b} \right)\) có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( { - 10;b - 9} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {b - 9;10} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[AB:\left( {b - 9} \right)\left( {x - 6} \right) + 10\left( {y - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 9} \right)x + 10y - 6b - 36 = 0\].

Khoảng cách từ \(H\left( {2;1} \right)\) đến \(AB\):

\(d\left( {H,AB} \right) = \frac{{\left| {2\left( {b - 9} \right) + 10 \cdot 1 - 6b - 36} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {b - 9} \right)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{4\left| {b + 11} \right|}}{{\sqrt {{b^2} - 18b + 181} }} = 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b + 11} \right)^2} = {b^2} - 18b + 181 \Leftrightarrow 40b = 60 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}\)

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 20 căn bậc hai của 5, AC = BD = 50, AD = BC = 10 căn bậc hai của 13. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng bao nhiêu?