50 bài tập Hình học không gian có lời giải
Xem toàn bộ quiz

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \).

49/50

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \).

a) \[AC \bot \left( {ABD} \right)\].

d) \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = 30^\circ \).

c) Góc nhị diện \[\left[ {A,BC,D} \right]\] có số đo bằng \[87,79^\circ \].

d) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\) bằng \(90^\circ \).

0/3000 ký tự
Giải thích

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \). (ảnh 1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot AD}\end{array} \Rightarrow AC \bot \left( {ABD} \right)} \right.\).

Khi đó \(AD\) là hình chiếu của \(CD\) trên \(\left( {ABD} \right)\).

Ta có: \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CD,AD} \right) = \widehat {CDA}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\) có:

\(\tan \widehat {CDA} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CDA} = 30^\circ \).

Vậy \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = \widehat {CDA} = 30^\circ \).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\) (do \(AB = AC\)).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot BC.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AD}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot DM{\rm{.}}\)

Khi đó: \(\left( {AM,DM} \right) = \widehat {AMD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,D} \right]\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường cao \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {AMD} = \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 6  \Rightarrow \widehat {AMD} \approx 67,79^\circ \).

Vì \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \(\left( {AC,AD} \right) = \widehat {CAD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\) và \(\widehat {CAD} = 90^\circ \).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.