Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau, biết \(AB = AC = AD = 1\).

Theo định lí Pythagore, ta tính được \(BC = CD = BD = \sqrt 2 \).

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,AC,AD\).

Tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình

nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB}\\{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Tam giác \(ACD\) có \(NP\) là đường trung bình

nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{NP//CD}\\{NP = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(AMP\) vuông tại \(A\) có:

\(MP = \sqrt {A{M^2} + A{P^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB}\\{NP//CD}\end{array} \Rightarrow (AB,CD) = (MN,NP)} \right.\).

Tam giác \(MNP\) có: \(M{N^2} = \frac{1}{4},N{P^2} = \frac{1}{2},M{P^2} = \frac{3}{4}\) hay \(M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}\).

Suy ra tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).

Vậy (AB,CD)=(MN,NP)=90° hay \(AB \bot CD\).