Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD = 1\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\widehat
40/50
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD = 1\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\widehat {CAD} = 90^\circ \). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
a) \(CD = \sqrt 2 \).
b) Tam giác \(BCD\) vuông cân tại \(C\).
c) \(IJ \bot AB\).
d) \(IJ \bot CD\).
Các tam giác \(ABC\) và \(ABD\) cân tại\(A\) và có góc \(60^\circ \) nên hai tam giác\(ABC\) và \(ABD\) đều cạnh bằng 1.
Tam giác \(ACD\) vuông cân tại \(A\)có: \(CD = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).
Tam giác \(BCD\) có: \(B{C^2} = 1,B{D^2} = 1,C{D^2} = 2\,\,{\rm{hay}}\,B{C^2} + B{D^2} = C{D^2}\), suy ra tam giác \(BCD\) vuông cân tại \(B\).
Ta có: \(AJ = BJ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên tam giác \(JAB\) cân tại \(J\).
Mặt khác \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(IJ \bot AB\).
Tam giác \(ABC\) và \(ABD\) đều cạnh 1 nên \(CI = DI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vì vậy tam giác \(ICD\) cân tại \(I\), mà \(J\) là trung điểm \(CD\) nên \(IJ \bot CD\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.