Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 3)
Xem toàn bộ quiz

Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD = 1.\) và {BAC} = {BAD}

22/23

Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD = 1.\) và \[\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\widehat {CAD} = 90^\circ \]. Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AI = 3IB\) và \(J\) là trung điểm của \(CD\). Tính độ dài đoạn thẳng \[IJ\]và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

0/3000 ký tự
Giải thích

Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD = 1.\) và {BAC} = {BAD} (ảnh 1)

Ta có:\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 0\);\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos60^\circ = \frac{1}{2}\];\[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\].

\( \Rightarrow I{J^2} = {\overrightarrow {IJ} ^2}\, = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{17}}{4} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{5}{{16}}\).

\( \Rightarrow IJ = \frac{{\sqrt 5 }}{4} \approx 0,56.\)