Cho tứ diện ABCD có AB = 4 , AC = AD = CD = 2 √ 3 , BC = BD = √ 7 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

19/22

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = 4,\,AC = AD = CD = 2\sqrt 3 ,\,BC = BD = \sqrt 7 $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải thích

$Cho tứ diện $ABCD$ có \(AB = 4,\,AC = (ảnh 1)$

Đáp án: $1,45$.

Gọi $I$ là trung điểm $CD$.

Ta có $\Delta ACD$ là tam giác đều nên $AI \bot CD$, $\Delta BCD$ là tam giác cân tại $B$ nên $BI \bot CD$.

Do đó $CD \bot \left( {ABI} \right)$.

Trong tam giác $\Delta ABI$ kẻ $IO$ vuông góc $AB$.

Khi đó $d\left( {AB,CD} \right) = IO$.

Xét $\Delta ACD$ là tam giác đều cạnh $2\sqrt 3 $ nên $AI = 3$.

Xét $\Delta BCI$ vuông tại $I$ có $BI = \sqrt {B{C^2} - C{I^2}} = \sqrt {7 - 3} = 2$.

Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABI}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AI} \right)\left( {p - BI} \right)} = \sqrt {\frac{9}{2}\left( {\frac{9}{2} - 4} \right)\left( {\frac{9}{2} - 3} \right)\left( {\frac{9}{2} - 2} \right)} = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}$

Khi đó ${S_{\Delta ABI}} = \frac{1}{2}OI.AB \Leftrightarrow OI = \frac{{2{S_{\Delta ABI}}}}{{AB}} = \frac{{3\sqrt {15} }}{8}$.