Cho tứ diện ABCD biết AB = BC = CA = 4 = AD = 4,DC = 6,BD = 7

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc hình bình hành

Lời giải

Vì: \(AB = AC = BC = 4 \Rightarrow \Delta ABC\) đều, I là trung điểm \({\rm{BC}} \Rightarrow AI \bot BC\)

Mặt phẳng: \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) vuông góc với nhau

\( \Rightarrow AI \bot \left( {BCD} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(AI\)

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(:\overrightarrow {DI} + \overrightarrow {DA} = 2\overrightarrow {DM} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DI} + \overrightarrow {DA} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {DM} } \right| = 2DM\)

\(AI\) là đường cao trong tam giác đều \(ABC \Rightarrow AI = 2\sqrt 3 \)

\(DI\) là đường trung tuyến trong tam giác \(DBC\). Theo công thức tính độ dài trung tuyến ta có:

\(D{I^2} = \frac{{B{D^2}}}{2} + \frac{{D{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{{7^2} + {6^2}}}{2} - \frac{{{4^2}}}{4} = 38,5\)

Trong tam giác \(ADI\) có \(DM\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow D{M^2} = \frac{{D{I^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{A{I^2}}}{4} = \frac{{38,5 + {4^2}}}{2} - \frac{{{{(2\sqrt 3 )}^2}}}{4} = \frac{{97}}{4}\)

\( \Rightarrow DM = \frac{{\sqrt {97} }}{2}\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DI} } \right| = \sqrt {97} \)