Cho tứ diện A B C D . Gọi G là trọng tâm tam giác A B D , Q thuộc cạnh A B sao cho A Q = 2 Q B , P là trung điểm của A B , M là trung điểm của B D . Khẳng định nào sau đây đúng?

28/38

Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD,\,\,Q\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AQ = 2QB,\,\,P\) là trung điểm của \(AB,\,\,M\) là trung điểm của \(BD.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

\[Q \in \left( {CDP} \right).\]

\[QG\] cắt \(\left( {BCD} \right).\)

\[MP{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\]

\[GQ{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\]

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện A B C D . Gọi G là trọng tâm tam giác A B D , Q thuộc cạnh A B sao cho A Q = 2 Q B , P là trung điểm của A B , M là trung điểm của B D . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD \Rightarrow \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.\)

Do \(AQ = 2QB \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.\)

Từ các kết quả trên ta có: \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.\)

Nên theo định lí Thalés đảo trong tam giác \(ABM\) ta có: \(GQ{\rm{//}}BM.\)

Mặt khác \(BM \subset \left( {BCD} \right);\,\,GQ \not\subset \left( {BCD} \right).\)

\( \Rightarrow GQ{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)