Cho tứ diện A B C D có ˆ D A B = ˆ C B D = 90 ∘ , A B = a , A C = a √ 5 , ˆ A B C = 135 ∘ . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( A B D ) và ( C B D ) bằng 30 ∘ . Thể tích khối tứ diện A B C

62/100

Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {CBD} \right)$ bằng ${30^ \circ }$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

$\frac{{{a^3}}}{3}$.

$\frac{{{a^3}}}{6}$.

$\frac{{2{a^3}}}{9}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}$.

Giải thích

$Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {CBD} \right)$ bằng ${30^ \circ }$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng A. $\frac{{{a^3}}}{3}$. B. $\frac{{{a^3}}}{6}$. C. $\frac{{2{a^3}}}{9}$. D. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}$. (ảnh 1)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

Kẻ $HK//BC\left( {K \in BD} \right)$. Ta có $BD \bot BC$ suy ra $HK \bot BD$ mà $AH \bot BD$ nên $BD \bot \left( {AHK} \right)$.

Suy ra $BD \bot AK$.

Do đó $\left( {\widehat {\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)}} \right) = \widehat {AKH} = {30^ \circ }$.

Kẻ $HM//BD\left( {M \in BC} \right)$. Ta có $BC \bot BD$ suy ra $HM \bot BC$ mà $AH \bot BC$ nên $BC \bot \left( {AHM} \right)$.

Suy ra $BC \bot AM$.

Ta có $\widehat {ABC} = {135^ \circ }$ suy ra $\widehat {ABM} = {45^ \circ }$ nên tam giác $AMB$ vuông cân tại $M$.

Suy ra $AM = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$.

Tứ giác $BKHM$ là hình chữ nhật nên $HK = BM = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$.

Tam giác $AHK$ vuông tại $H$ có $\widehat {AKH} = {30^ \circ }$ nên $AH = \frac{{HK}}{{{\rm{cot}}{{30}^ \circ }}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }},AK = 2AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}$.

Xét tam giác $BAD$ vuông tại $A$, đường cao $AK$.

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{6}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 $.

$BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 $.

Xét tam giác $ABC$ có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}{135^ \circ }$ hay $5{a^2} = {a^2} + B{C^2} + \sqrt 2 aBC$

$ \Leftrightarrow \left( {BC + 2\sqrt 2 a} \right)\left( {BC - \sqrt 2 a} \right) = 0 \Leftrightarrow BC = \sqrt 2 a$.

$ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{6}.AH.BC.BD = \frac{1}{6}.\frac{a}{{\sqrt 6 }}.a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{6}$.

Chọn B