Cho tứ diện A B C D có A D ⊥ ( A B C ) , A C = A D = 2 , A B = 1 và B C = √ 5 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( B C D ) .

12/21

Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AD \bot (ABC)\], \[AC = AD = 2\], \[AB = 1\] và \[BC = \sqrt 5 \]. Tính khoảng cách \[d\] từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\].

\[d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

\[d = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\].

\[d = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

\[d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Trong

\[\Delta ABC\] có \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại \[A\].

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]

Vì \[AD,\,AB,\,AC\] đôi một vuông nên \[d = AH\] được tính

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{2}\]\[ \Rightarrow A{H^2} = \frac{2}{3} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].