Cho tổng S_n = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + (1/2)^(n − 1). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với u₁ = 1, q = \(\frac{1}{2}\).

b) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)S_n = \[\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}}\] = 2.

c) Sai. Áp dụng công thức tổng cấp số nhân hữu hạn:

S_n = \(\frac{{1 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 2 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)

Do đó biểu thức trong mệnh đề là sai.

d) Sai. Tổng vô hạn là một số hữu hạn bằng 2, không phải + ∞.