Cho tổng An = 1 + 4 + 7 + (3n – 2). a, Tính A1, A2, A3. b, Dự đoán công thức An và chứng minh bằng quy nạp.

a) A₁ = 1

A₂ = 1 + 4 = 5

A₃ = 1 + 4 + 7 = 12

b) Dự đoán công thức A_n = n3n−12 (1)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có: A₁ = 1.22=1(đúng)

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là

1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) = k3k−12

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k, tức là cần chứng minh

1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) + (3k + 1) =  k+13k+22(2)

Theo giả thiết quy nạp ta có:

A_k+1 = A_k + (3k + 1) =  k3k−12+ (3k + 1)

= 3k2−k+6k+22=3k2+5k+22=k+13k+22.

Vậy (1) đúng với mọi n ∈ ℕ^*.