Cho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông ABCD có cạnh bằng 8, ở hai cạnh đối diện AB và CD lần lượt gắn hai nửa đường tròn có đường kính là mỗi cạnh ấy. Trên cung tròn AB, lấy 2 điểm

22/22

Cho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 8, ở hai cạnh đối diện $AB$ và $CD$ lần lượt gắn hai nửa đường tròn có đường kính là mỗi cạnh ấy. Trên cung tròn $AB$, lấy 2 điểm chia thành ba đoạn bằng nhau, lấy điểm gần $B$ là $P$. Trên cung tròn $CD$ lấy điểm $Q$ chia thành hai đoạn bằng nhau. Gấp tờ giấy lên theo hai đường thẳng $AB$ và $CD$ sao cho hai nửa đường tròn dựng lên khỏi mặt phẳng $ABCD$. Khi đó, từ hai điểm $P$ và $Q$ ta hạ các đường vuông góc xuống mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ được các hình chiếu là $G$ và $H$.

$Suy ra vectơ pháp tuyến cCho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông \(AB (ảnh 1)$

Cho biết $G$ và $H$ nằm bên trong hình vuông $ABCD$ sao cho $PG = \sqrt 3 ;\,QH = 2\sqrt 3 $. Gọi $\theta $ là góc giữa mặt phẳng $\left( {PCQ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Hỏi giá trị của \[70{\cos ^2}\theta \] bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 40

$Suy ra vectơ pháp tuyến cCho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông \(AB (ảnh 2)$

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc $O$ trùng với đỉnh $B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$của hình vuông. Các tia $BC$ và

$BA$ lần lượt nằm trên các trục $Ox$ và $Oy$.

Các đỉnh của hình vuông có tọa độ: $B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, $C\left( {8\,;\,0\,;\,0} \right)$, $A\left( {0\,;\,8\,;\,0} \right)$, và $D\left( {8\,;\,8\,;\,0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ chính là mặt phẳng tọa độ $Oxy$có phương trình $z = 0$, với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$

Nửa đường tròn đường kính $AB$ có tâm ${O_1}\left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)$ và bán kính $R = 4$.

Điểm $P$ chia cung thành 3 đoạn bằng nhau và nằm gần $B$, nên góc $\widehat {P{O_1}B} = 60^\circ $.

Gọi $P'$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên đường thẳng $AB$.

Khoảng cách ${O_1}P' = R\cos 60^\circ = 4.\frac{1}{2} = 2$. Từ đó suy ra $P'\left( {0\,;\,2\,;\,0} \right)$

Khoảng cách từ $P$ đến $AB$ trên mặt phẳng là $P'P = R\sin 60^\circ = 2\sqrt 3 $.

Sau khi gấp: Điểm $P$ chiếu vuông góc xuống mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ thành điểm $G$. Do đó, $G$ phải nằm trên đường thẳng đi qua $P'$ và vuông góc với trục $AB$ . Nghĩa là $G$ có tọa độ dạng $\left( {{x_G}\,;\,2\,;\,0} \right)$. Vì $G$ nằm trong hình vuông nên ${x_G} > 0$

Xét tam giác vuông $PP'G$ vuông tại $G$, ta có:

$P'G = \sqrt {P'{P^2} - P{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3$

Từ đó suy ra ${x_G} = 3$, $G\left( {3\,;\,2\,;\,0} \right)$ Do $PG = \sqrt 3 $, tọa độ $P\left( {3\,;\,2\,;\,\sqrt 3 } \right)$.

Nửa đường tròn đường kính $CD$ có tâm ${O_2}\left( {8\,;\,4\,;0} \right)$ và bán kính $R = 4$. Vì điểm $Q$ chia đôi cung $CD$ nên $Q$ nằm ở đỉnh của nửa đường tròn. Hình chiếu của $Q$ lên $CD$ chính là tâm ${O_2}$. Khoảng cách từ $Q$ đến $CD$ là ${O_2}Q = R = 4$

Tương tự như trên, điểm $Q$ chiếu vuông góc xuống $ABCD$ thành $H$, do đó $H$ nằm trên đường thẳng qua ${O_2}$và vuông góc với $CD$ . Do đó $H$ có tọa độ dạng $\left( {{x_H}\,;\,4\,;\,0} \right)$. Vì nằm trong hình vuông nên ${x_H} < 8$.

Xét tam giác vuông $Q{O_2}H$ vuông tại $H$, ta có: ${O_2}H = \sqrt {{O_2}{Q^2} - Q{H^2}} = 2$.

Vì khoảng cách ${O_2}H = 2$ và $H$ nằm bên trong hình vuông nên ${x_H} = 8 - 2 = 6$.

Ta được $H\left( {6\,;\,4\,;\,0} \right)$

Do $QH = 2\sqrt 3 $ ta có tọa độ $Q\left( {6\,;\,4\,;\,2\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng $(P C Q) : \vec{n} = [\vec{C P}; \vec{C Q}] = (0; 8 \sqrt{3}; - 16)$

Chọn vecto pháp tuyến của $\left( {PCQ} \right)$: $(0; \sqrt{3}; - 2)$

Góc $\theta $ giữa mặt phẳng $\left( {PCQ} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$:

$\cos \theta = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }}$.

Khi đó ${\cos ^2}\theta = \frac{4}{7}$. Vậy $70{\cos ^2}\theta = 40$.