Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Khi đó IM vuông góc với tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến n→1=1;−1.

Đường thẳng IM có vectơ pháp tuyến n→2=1;1 nên phương trình có dạng: x + y + c = 0.

Điểm I nằm trên đường thẳng IM nên ta có I(t; – c – t)

⇒OI→=t;−c−t 

O nằm trên đường tròn nên OI = R = 2

Do đó t² + (– c – t)² = 4.

Mặt khác, IM vuông góc với tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến tiếp tuyến d bằng 2.

Hay  dI,d=2⇔t−−c−t12+12=2 

⇔c+2t=22⇔c=22−2tc=−22−2t 

Khi c=22−2t thì ta có: t2+22−2t−t2=4         

⇔t2+22−3t2=4⇔10t2−122t+4=0 

⇔t=2t=25 

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Khi c=−22−2t thì ta có: t2+−22−3t2=4          

 ⇔10t2+122t+4=0⇔t=−2t=−25

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Vậy có 4 phương trình đường tròn thỏa mãn.