Cho tích phân từ pi/6 đến pi/4 của (2tan x + cot x)^2 dx = a + b căn bậc hai 3 + cpi (*). Biết rằng tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn (*). Tổng a + 3b + 12c có giá trị bằng

Đáp án đúng là: \(1.\)

Giải chi tiết:

Ta có

\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{(2\tan x + \cot x)}^2}} {\mkern 1mu} dx = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {(4{{\tan }^2}x + 4\tan x \cdot \cot x + {{\cot }^2}x)} {\mkern 1mu} dx\)

\( = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)} {\mkern 1mu} dx\)

\( = (4\tan x - \cot x - x)|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = 3 + \frac{{ - 1}}{3} \cdot \sqrt 3 + \frac{{ - 1}}{{12}} \cdot \pi \)

Vậy \(a = 3,b = \frac{{ - 1}}{3},c = \frac{{ - 1}}{{12}}.\)

Do đó \(a + 3b + 12c = 3 - 1 - 1 = 1.\)

Đáp án cần điền là: \(1.\)