Cho tích phân từ pi/4 tới pi/3 của ((3tan x + 2cot x)^2)dx = a + b căn bậc hai của 3/3+ c.(pi/12) (*). Biết rằng tồn tại duy nhất bộ ba số nguyên a,b,c thỏa mãn (*). Tổng T = a + b + c có giá

Lời giải

Chọn D

Ta có

\[\begin{array}{l}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{\left( {3\tan x + 2\cot x} \right)}^2}dx}  = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {9{{\tan }^2}x + 4{{\cot }^2}x + 12} \right)dx}  = \\\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {9\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + 4\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 12} \right)dx} \end{array}\]

\[ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {9.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 4.\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {\left( {9\tan x - 4\cot x - x} \right)} \right|} _{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\]

\[ = \left( {9.\sqrt 3  - 4.\frac{1}{{\sqrt 3 }} - \frac{\pi }{3}} \right) - \left( {9 - 4 - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 5 + 23.\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{\pi }{{12}}\]

Vậy \[T =  - 5 + 23 - 1 = 17\].