Cho thập giác đều (đa giác đều có 10 đỉnh) A1A2...A10. Người ta gắn ngẫu nhiên vào 10 đỉnh A1, A2, ..., A10 mỗi đỉnh một số tự nhiên thuộc tập số S = {9; 10; ...; 18}. Chọn ngẫu nhiên một tam

Đáp án: 19.

Đặt \[A\] là biến cố: “Tam giác thu được là tam giác vuông”.

\[B\] là biến cố: “Tam giác thu được có số ghi trên đỉnh lập thành cấp số cộng”.

Suy ra, biến cố \[C\]: “Tam giác thu được là một tam giác vuông có 3 số ghi trên 3 đỉnh của tam giác lập thành cấp số”.

Dễ thấy \[C = AB\] và \[A,B\] là hai biến cố độc lập (vì việc gán số ngẫu nhiên độc lập với việc chọn tam giác).

- Số tam giác vuông trong thập giác đều:

Một tam giác nội tiếp đường tròn là tam giác vuông khi và chỉ khi một cạnh là đường kính.

Thập giác đều có \[10\] đỉnh thì có \[5\] cặp đỉnh đối xứng qua tâm (tức là có \[5\] đường kính).

Với mỗi đường kính, có \[10 - 2 = 8\] cách chọn một đỉnh để cùng với hai đỉnh đường kính tạo thành tam giác vuông.

Vậy số tam giác vuông là \[8.5 = 40\] và \[P\left( A \right) = \frac{{40}}{{C_{10}^3}} = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3}\].

- Số bộ 3 số lập thành cấp số cộng:

Giả sử \[a;b;c\] theo thứ tự là một cấp số cộng, do \[a + c = 2b\] nên \[a,c\] cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Trong \[S\] có hai tập \[L = \left\{ {9;11;13;15;17} \right\}\] và \[C = \left\{ {10;12;14;16;18} \right\}\], với \[a,c\] thuộc \[L\] hoặc \[C\] thì luôn tồn tại \[b\] thuộc \[L\] hoặc \[C\].

Do đó, số cấp số cộng là \[C_5^2 + C_5^2 = 20\] và \[P\left( B \right) = \frac{{20}}{{C_{10}^3}} = \frac{{20}}{{120}} = \frac{1}{6}\].

Vậy \[P = P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{6}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{18}}\], do đó \[m + n = 1 + 18 = 19\].