Cho tập X = (1;2;3;...;12). Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập X
21/22
Cho tập \(X = \left\{ {1;2;3;...;12} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập \(X\) rồi đặt 1 số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt 3 số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi \(P\) là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của \(1980P\).
Đáp án: 16.
Số cách chọn ngẫu nhiên 4 số từ 12 số và xếp vào các vòng tròn là \(n(\Omega ) = C_{12}^4.4 = 1980\) (vì chọn 4 số có \(C_{12}^4\) cách, sau đó chọn 1 trong 4 số đó đặt vào vòng tròn lớn có 4 cách, 3 số còn lại vào 3 vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí nên chỉ có 1 cách xếp).
Gọi số ở vòng tròn lớn là \(a\), và ba số ở vòng tròn nhỏ là \(x,y,z\) với \(x < y < z\).
Theo điều kiện bài toán ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}y + z < a\\x + y + z > a\end{array} \right. \Leftrightarrow y + z < a < x + y + z\).
Ta cần tìm các bộ số \((a;x,y,z)\) sao cho: \(y + z < a < x + y + z\).
Trường hợp 1: Nếu \[x = 1\] thì \(y + z < a < y + z + 1\) thì không tồn tại số \(a\) nguyên.
Trường hợp 2: Nếu \[x = 2\] thì
\[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 2 \Rightarrow a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\\min \left( {y + z} \right) = 7\end{array} \right. \Rightarrow 7 \le y + z \le 11\].
Suy ra có có 9 bộ thỏa mãn.
Trường hợp 3: Nếu \[x = 3\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 9\end{array} \right.\]
Trường hợp 3.1: \[a = y + z + 1\]. khi đó \[9 \le y + z \le 11 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 11\\y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]
Suy ra có 4 bộ thỏa mãn.
Trường hợp 3.2: \[a = y + z + 2\]. khi đó \[9 \le y + z \le 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]
Suy ra có 2 bộ thỏa mãn
Trường hợp 4: Nếu \[x = 4\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\\a = y + z + 3 \le 12 \Rightarrow y + z \le 9\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 11\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}11 \le y + z \le 11\\11 \le y + z \le 10\\11 \le y + z \le 9\end{array} \right. \Rightarrow y + z = 11\]
Suy ra có 1 bộ thỏa mãn.
Tổng số trường hợp thuận lợi là \(n(A) = 16\).
Xác suất \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{16}}{{1980}}\).
Giá trị cần tìm là \(1980P = 1980.\frac{{16}}{{1980}} = 16\).