Cho tập S = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Bạn An chọn ngẫu nhiên ra 6 số và xếp vào 6 ô vuông được bố trí theo dạng bậc thang như hình vẽ. Tính xác suất tổng hai số ở mỗi hàng ngang là bằng nhau,
22/22
Cho tập \(S = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Bạn An chọn ngẫu nhiên ra \(6\) số và xếp vào \(6\) ô vuông được bố trí theo dạng bậc thang như hình vẽ. Tính xác suất tổng hai số ở mỗi hàng ngang là bằng nhau, đồng thời ba số nằm trên mỗi đường chéo thì tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất tính được có dạng phân số tối giản là \(\frac{b}{a}\) ( với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(K = a - 656b\)
Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480\)
Gọi 2 đường chéo là \(\left( {{x_1};{x_3};{x_5}} \right)\)và \[\left( {{x_2};{x_4};{x_6}} \right)\]. Để tổng các hàng ngang bằng nhau và các đường chéo là cấp số cộng (CSC), ta có: đường chéo 1 là CSC công sai \(d\) hoặc đường chéo 2 là CSC công sai \( - d\).
Vật ta cần chọn 2 tập con rời nhau, mỗi tập là một CSC gồm 3 phần tử có cùng công sai \(k = \left| d \right|\).
Với \(k = 1\) thì các bộ là\[\left( {1;2;3} \right),\left( {2;3;4} \right),...,\left( {7;8;9} \right)\] nên số cặp rời nhau: \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\) cặp.
Với \(k = 2\) thì các bộ là\[\left( {1;3;5} \right),\left( {2;4;6} \right),\left( {3;5;7} \right),\left( {4;6;8} \right),\left( {5;7;9} \right)\]
Số cặp rời nhau: \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\) cặp
Với \(k = 3\) thì các bộ là\(\left( {1;4;7} \right),\left( {2;5;8} \right),\left( {3;6;9} \right)\) nên số cặp rời nhau: \(2 + 1 = 3\) cặp
Với \(k \ge 4\) thì không có cặp rời nhau.
Vậy tổng số cặp tập hợp thỏa mãn: \(10 + 6 + 3 = 19\) cặp
Với mỗi cặp tập hợp, có \(2\) cách chọn tập nào cho đường chéo nào và \(2\)cách chọn chiều tăng/giảm của công sai (do\({d_2} = - {d_1}\)).
Số phần tử thuận lợi:\(n\left( A \right) = 19.2.2 = 76\)
Vậy xác suất cần tính là: