Cho tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7}. Người ta xếp ngẫu nhiên các chữ số từ tập X vào các ô tròn như hình vẽ dưới đây sao cho mỗi ô chứa đúng một số. Biết rằng tổng của ba số trên mỗi đường thẳng

Gọi số nằm giữa là \(x \in X = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) và các số bên ngoài được minh họa như hình vẽ
Các cặp số đối xứng qua tâm trên cùng một đường thẳng là \(\left( {a;\,d} \right),\,\left( {b;\,e} \right),\,\left( {c;\,f} \right)\)
Tổng ba số trên mỗi đường thẳng đi qua tâm bằng nhau gọi là \(T\), khi đó ta có:
\(T = a + x + d = b + x + e = c + x + f \Leftrightarrow a + d = b + e = c + f = k\)
Tổng của các số trong tập\(X\) là: \({S_X} = 28\)
Tổng của 3 đường thẳng đi qua tâm là \(3T\). Khi cộng tổng 3 đường thẳng này, số ở tâm là \(x\) được tính \(3\) lần, còn các số ở vòng ngoài được tính 1 lần.
Khi đó ta có: \(3T = {S_X} + 2x \Leftrightarrow 3T = 28 + 2x\). Để tồn tại cách xếp thì vế phải là \(\left( {28 + 2x} \right)\) phải chia hết cho \(3\) nên \(x \in \left\{ {1;\,4;\,7} \right\}\)
Trường hợp 1: \(x = 1\)
Tổng cặp bên ngoài \(k = \frac{{28 - 1}}{3} = 9\) nên khi đó tập còn lại \(\left\{ {2;3;4;5;6;7} \right\}\) thì các cặp có tổng bằng 9 là: \(\left( {2,7} \right),\left( {3,6} \right),\left( {4,5} \right)\)
Hoán vị 3 cặp vào 3 đường thằng: \(3! = 6\) cách, hoán vị vị trí 2 số trong mỗi cặp có \({2^3} = 8\) cách.
Tổng số cách: \(6.8 = 48\) cách.
Trường hợp 2: \(x = 4\)
Tổng cặp bên ngoài \(k = \frac{{28 - 4}}{3} = 8\) nên khi đó tập còn lại \(\left\{ {1;2;3;5;6;7} \right\}\) thì các cặp có tổng bằng 8 là: \(\left( {1,7} \right),\left( {2,6} \right),\left( {3,5} \right)\)
Số cách xếp cũng tương tự trường hợp 1 có \(3!{.2^3} = 48\) cách
Trường hợp 3: \(x = 7\)
Tổng cặp bên ngoài \(k = \frac{{28 - 7}}{3} = 7\) nên khi đó tập còn lại \(\left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)thì các cặp có tổng bằng 7 là: \(\left( {1,6} \right),\left( {2,5} \right),\left( {3,4} \right)\)
Số cách xếp tương tự có: \(3!{.2^3} = 48\) cách.
Tổng số cách xếp thỏa mãn điểu kiện đề bài: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 48 + 48 + 48 = 144\)(cách)
Số cách xếp mà tâm \(x\) là số lẻ: \(n\left( A \right) = 48 + 48 = 96\)
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{96}}{{144}} = \frac{2}{3} \approx 0,67\)