Cho tan x = 2. Biểu thức M = sin x- 3 cos ^3 x/ 5 sin ^3x- 2 cos x = a/b  (với (a, b) = 1). Giá trị của hiệu b – a là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do tan x = 2 nên cos x ≠ 0 nên cos³ x ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu biểu thức M cho cos³ x ta có:

M = $\frac{\frac{\sin x}{{\text{cos}}^{3}x}-3}{5.\frac{{\sin }^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}-\frac{2}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{\frac{\sin x}{\text{cos x}}.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-3}{5.{\tan }^{3}x-2.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}$ $=\frac{\tan x\left(1+{\tan }^{2}x\right)-3}{5{\tan }^{3}x-2\left(1+{\tan }^{2}x\right)}$

$=\frac{2\left(1+2^2\right)-3}{{5.2}^3-2\left(1+2^2\right)}=\frac{7}{30}.$

Như vậy, a = 7; b = 30 ⇒b – a = 23.