Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x^2 − 2 ( m − 1 ) x + m + 5 với m là tham số. Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Khi \(m = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 9\).

Thay \(x = 3\) ta được \(f\left( 3 \right) = {3^2} - 6.3 + 9 = 0\).

Vậy \(f\left( x \right)\) có một nghiệm là \(x = 3\).

b) Để \(f\left( x \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt thì

\(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 4\end{array} \right.\).

c) Khi \(m = - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne - 2\).

d) Ta có \({x^2} + x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Từ \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + x + 3}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 4\).

Các giá trị nguyên của \(m\) là \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).