Cho tam giác ABC vuông tại B, cạnh AB = 6cm, góc BAC= 40 độ. Đường tròn (O) đường kính AB cắt AC tại D. Diện tích phần hình được tô màu là bao nhiêu cm^2 (không làm tròn kết quả các phép tính

Đáp án đúng là: A

¬ Diện tích phần tô màu bằng diện tích tam giác \[ABC\] trừ đi diện tích phần của nửa hình tròn nằm trong tam giác.

Phần đường tròn bị trừ bao gồm tam giác cân \[AOD\] và hình quạt \[BOD\].

Ta có: \[BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} = 6\tan 40^\circ \] (cm);

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \left( {6\tan 40^\circ } \right) = 18\tan 40^\circ \] (cm²).

¬ Vì \[D\] nằm trên đường tròn đường kính \[AB,\] nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, \(\Delta ABD\) vuông tại \[D.\]

Áp dụng tỉ số lượng giác cho \(\Delta ABD\) vuông tại \[D:\]

⦁ \(AD = AB \cdot \cos 40^\circ  = 6\cos 40^\circ \) (cm)

⦁ \(BD = AB \cdot \sin 40^\circ  = 6\sin 40^\circ \) (cm).

Diện tích \(\Delta ABD\) là

\(\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD = \frac{1}{2}\left( {6\cos 40^\circ } \right) \cdot \left( {6\sin 40^\circ } \right) = 18\sin 40^\circ \cos 40^\circ \) (cm²).

Xét \(\Delta ABD\), vì \[O\] là tâm đường tròn nên \[O\] là trung điểm của \[AB.\] Đoạn \[DO\] đóng vai trò là đường trung tuyến, chia \(\Delta ABD\) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Do đó: \({S_{AOD}} = \frac{1}{2}{S_{ABD}} = 9\sin 40^\circ \cos 40^\circ \) (cm²).

¬ Theo hệ quả góc nội tiếp, góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung: \(\widehat {BOD} = 2 \cdot \widehat {BAD} = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \).

Diện tích hình quạt \[BOD\] (bán kính \(R = 3\) cm) là: \({S_{quat}} = \frac{{\pi \cdot {3^2} \cdot 80}}{{360}} = 2\pi \) (cm²).

Diện tích phần tô màu là:

\({S_{t{\rm{\^o }}m{\rm{\`a }}u}} = {S_{ABC}} - \left( {{S_{AOD}} + {S_{quat}}} \right) = 18\tan 40^\circ - \left( {9\sin 40^\circ \cos 40^\circ + 2\pi } \right) \approx 4,3889...\) (cm²).

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được 4,39 cm².