Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, đường thẳng này cắt GF tại I. a) Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao?

a) Vì G, F lần lượt là trung điểm của BC, AC nên GF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra GF//AB và GF = \(\frac{1}{2}\)AB = AE.

Tứ giác AEGF có: GF // AE, GF = AE nên tứ giác AEGF là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {{\rm{EAF}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AEGF là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BEIF có: BE // IF (cmt), BF // IE (gt) nên tứ giác BEIF là hình bình hành.

c) Ta có GF // AB và AC ⊥ AB nên AC ⊥ GF.

Ta thấy IF = BE (vì tứ giác BEIF là hình bình hành), GF = AE (cmt), AE = BE (gt) nên IF = GF.

Tứ giác AGCI có hai đường chéo AC và IG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác AGCI là hình bình hành.

Ta có: AB // GI, mà AB ^ AC nên GI ^ AC.

Hình bình hành AGCI có hai đường chéo vuông góc với nhau nên hình bình hành AGCI là hình thoi.

d) Để hình bình hành AGCI là hình thoi thì \(\widehat {{\rm{AGC}}} = 90^\circ \). Khi đó, AG ^ BC.

Khi đó, tam giác vuông ABC tại A có AG vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AGCI là hình thoi.