Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
a) Có \(CF \bot AB\) nên \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \[F\]
Do đó \[F\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].
Có \(BE \bot AC\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \[E\]
Do đó \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\]
Vậy tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].
b) Gọi \[D\] là giao của \[AH\] và \[BC\].
Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot CF;AC \bot BE\) và \(BE\) cắt \(CF\) tại \(H\) nên \(H\) là trục tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AD \bot BC\) suy ra \(\widehat {ADB} = 90^\circ .\)
Có \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AM\] suy ra \(\widehat {ACM} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AMC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) và \[\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\] (cùng chắn )
Do đó (g.g).
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\)
Có tứ giác \[BFEC\] là tứ giác nội tiếp suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\,\,\left( { = 180^\circ - \widehat {BFE}} \right)\)
Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ACN\) có:
\(\widehat {FAP} = \widehat {CAN}\) và \(\widehat {AFP} = \widehat {ACN}\)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).
Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {FAH} = \widehat {CAM}\) và \(\widehat {AFH} = \widehat {ACM} = 90^\circ \)
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).
Mà \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AH}}{{AM}}\) suy ra \(\frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AM}}\) do đó \(PN\,{\rm{//}}\,HM{\rm{ }}\)(Định lý Thalès đảo).
Mà \(HM \bot AG\) (Do \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \[AM)\] nên \(PN \bot AG\).