Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên

Cách 1:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α; 

MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α; 

Khi đó, điểm M có tọa độ là . Suy ra .

Suy ra yM = xM ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.

Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:

y = x ∙ tan α.

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay này là:

.

Cách 2:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α; 

MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α; 

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.

Thể tích khối nón là:

.