Cho tam giác vuông \(OAB\) có cạnh \(OA = a\) nằm trên tục \(Ox\)
14/22
Cho tam giác vuông \(OAB\) có cạnh \(OA = a\) nằm trên tục \(Ox\) và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). Gọi \[\beta \] là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác \(OAB\) xung quanh trục \(Ox\).
Khi \(\alpha = \frac{\pi }{4}\) thì \[OB = x\].
Khi \(\alpha = \frac{\pi }{6}\) thì thể tích \(V\) của khối \[\beta \] là \[\frac{{\pi {a^3}}}{9}\] (đvtt).
Khi thể tích \(V\) của khối \[\beta \] là \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\) thì giá trị \(\cos \alpha < \frac{1}{2}\).
Khi \(\tan \alpha = \cot \alpha \) thì thể tích \(V\) của khối \[\beta \] là \[\frac{{\pi {a^3}}}{3}\].
a) Đ | b) Đ | c) Đ | d) Đ |
a) Đúng.
Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{4}\) nên \(OB:y = \tan \frac{\pi }{4}x = x\).
b) Đúng.
Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{6}\) nên \(OB:y = \tan \frac{\pi }{6}x = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).
Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \[V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{{x^2}}}{3}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\] (đvtt).
c) Đúng.
Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = \tan \alpha .x\).
Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\tan \alpha .x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3}\) (đvtt).
Do \(V = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1 = 5 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}\).
Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
d) Đúng.
Ta có: Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = \tan \alpha .x\).
Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\tan \alpha .x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3}\) (đvtt).
Do \[\tan \alpha = \cot \alpha \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \cot \alpha .\tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha = \pm 1\].
Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \alpha = 1\) \( \Rightarrow V = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3} = \frac{{\pi .{a^3}}}{3}\) (đvtt).