Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và ˆ AOB = α ( 0 < α < pi/2 ) . Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox .

58/76

Cho tam giác vuông $OAB$ có cạnh $OA = a$ nằm trên trục $Ox$ và $\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)$. Gọi $\beta $ là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác $OAB$ xung quanh trục $Ox$.

$a) Đ, b) S, c) S, d) S a) Khi $A = \pi ,B = 1$ thì \(f\left( (ảnh 1)$

Khi $\alpha = \frac{\pi }{4}$ thì thể tích $V$ của khối $\beta $ là $\frac{{\pi {a^3}}}{3}$ (đơn vị thể tích).

ĐúngSai

Khi $\alpha = \frac{\pi }{6}$ thì thể tích $V$ của khối $\beta $ là $\frac{{\pi {a^3}}}{9}$(đơn vị thể tích).

ĐúngSai

Khi thể tích $V$ của khối $\beta $ là $\frac{{4\pi {a^3}}}{3}$ thì giá trị $\cos \alpha < \frac{1}{2}$.

ĐúngSai

Khi $\tan \alpha = \cot \alpha $ thì thể tích $V$ của khối $\beta $ là $\frac{{\pi {a^3}}}{3}$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Do $OB$ đi qua gốc tọa độ và tạo với $Ox$ một góc $\frac{\pi }{4}$ nên $OB:y = x.\tan \frac{\pi }{4} = x$.

Khi đó thể tích của khối $\beta $ theo $V = \pi \int\limits_0^a {{x^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{3}$.

b) Do $OB$ đi qua gốc tọa độ và tạo với $Ox$ một góc $\frac{\pi }{6}$ nên $OB:y = x.\tan \frac{\pi }{6} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}$.

Khi đó, thể tích của khối $\beta $ theo $V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}$.

c) Do $OB$ đi qua gốc tọa độ và tạo với $Ox$ một góc $\alpha $ nên $OB:y = x.\tan \alpha $.

Khi đó, thể tích của khối $\beta $ theo $V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {x.\tan \alpha } \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}$.

ta có $\frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1 = 5$$ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}$.

Mặt khác $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

d) Do $\tan \alpha = \cot \alpha \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \cot \alpha .\tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha = \pm 1$.

Mặt khác $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\tan \alpha = 1$.

Theo câu c, ta có $V = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}$ mà $\tan \alpha = 1$ nên $V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}$.