Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A\) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A'. Chứng minh rằng: a) BA và BA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA); b) C

(H.5.48)

a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC, mà A ∈ (C; CA) do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Hai tam giác ABC và A'BC có:

BC là cạnh chung;

AB = A'B (cùng bằng bán kính đường tròn (B; BA));

AC = A'C (cùng bằng bán kính đường tròn (C; CA)).

Do đó ∆ABC = ∆A'BC (c.c.c), suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BA'C} = 90^\circ ,\) hay BA' ⊥ A'C.

Mặt khác, A' ∈ (C; CA) nên BA' là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Vậy BA và BA' là hai tiếp tuyến của đường tròn (C; CA) cắt nhau tại C.

b) Ta có CA ⊥ AB và A ∈ (B; BA) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Tương tự, CA' là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Vậy CA và CA' là hai tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) cắt nhau tại B.