Cho tam giác OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giải sử

Tam giác OMP là tam giác vuông tại \(P\) nên:

\({\rm{OP}} = {\rm{OM}} \cdot \cos \widehat {POM} = \ell  \cdot \cos \alpha ;\)

\({\rm{MP}} = {\rm{OM}} \cdot \sin \widehat {POM} = \ell  \cdot \sin \alpha \)

Khi đó, điếm \(M\) có tọa độ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = OP = 1 \cdot \cos \alpha }\\{{y_M} = MP = 1 \cdot \sin \alpha }\end{array}} \right.\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}}\\{{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }} \cdot \sin \alpha }\end{array}} \right.\).

Suy ra \({{\rm{y}}_{\rm{M}}} = {{\rm{x}}_{\rm{M}}} \cdot \tan {\rm{a}}\). Do đó điếm M thuộc đường thắng \({\rm{y}} = {\rm{x}} \cdot \tan {\rm{a}}\).

Lại có điếm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thắng OM là:

\(y = x \cdot \tan \alpha .\)

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{x}} \cdot \tan {\rm{a}}\), trục Ox và hai đường thắng \(x = 0,x = \ell  \cdot \cos \alpha \). Khối tròn xoay \(\mathcal{N}\) là khối tròn xoay thu được khi quay hình phắng trên quanh trục $O x$.

Thế tích khối tròn xoay này là:

\(V = \pi \int_0^{1 \cdot \cos \alpha } {{{(x \cdot \tan \alpha )}^2}} dx = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha  \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{1 \cdot \cos \alpha }\)

\( = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha }}{3} \cdot {(1 \cdot \cos \alpha )^3} = \frac{{\pi {1^3}}}{3} \cdot \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {\cos ^3}\alpha  = \frac{{\pi {1^3}}}{3} \cdot {\sin ^2}\alpha  \cdot \cos \alpha \)