Cho tam giác nhọn MNP , biết MN = 6 cm , MP = 1 , 5 MN , chu vi của tam giác MNP là 23 cm. Giải tam giác MNP .

Xét tam giác \(MNP\) có

\(MP = 1,5MN = 1,5 \cdot 6 = 9\,\,{\rm{cm}}\).

Lại có: \(MN + MP + NP = 23\, \Rightarrow NP = 23 - 6 - 9 = 8\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(MNP\) ta có:

\(M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} - 2MP \cdot NP \cdot \cos \widehat {MPN}\)

\( \Leftrightarrow {6^2} = {9^2} + {8^2} - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos \widehat {MPN}\)

\( \Leftrightarrow 36 = 145 - 144\cos \widehat {MPN}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {MPN} = \frac{{145 - 36}}{{144}} = \frac{{109}}{{144}} \Rightarrow \widehat {MPN} \approx 41^\circ \).

\(M{P^2} = M{N^2} + N{P^2} - 2MN \cdot NP \cdot \cos \widehat {MNP}\)

\( \Leftrightarrow {9^2} = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos \widehat {MNP}\)

\( \Leftrightarrow 81 = 100 - 96 \cdot \cos \widehat {MNP}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{100 - 81}}{{96}} = \frac{{19}}{{96}} \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 79^\circ \).

Mặt khác, ta lại có:

\(\widehat {MPN} + \widehat {MNP} + \widehat {NMP} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {NMP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPN} + \widehat {MNP}} \right) = 180^\circ - \left( {41^\circ + 79^\circ } \right) = 60^\circ \).

Vậy tam giác \(MNP\) có \(MN = 6\,{\rm{cm}}\), \(MP = 9\,{\rm{cm}}\), \(NP = 8\,{\rm{cm}}\),\(\widehat {MPN} \approx 41^\circ \),\(\widehat {MNP} \approx 79^\circ \), \(\widehat {NMP} \approx 60^\circ \).