Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao
4/5
Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi P là giao điểm thứ hai của AD và (O).
M là điểm đối xứng với P qua AB.
a) Chứng minh tứ giác AHBM nội tiếp.
b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt (O) tại Q.
Chứng minh Q đối xứng với P qua OA.
c) Gọi K là trung điểm của EF.
Chứng minh rằng đường thẳng AK và các tiếp tuyến của (O) tại B; C đồng quy.
a) Ta có tứ giác \(CDHE\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {DCE} + \widehat {DHE} = {180^0}\)
\(\widehat {APB} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung AB)
\(\widehat {APB} = \widehat {AMB}\) (tính chất đối xứng)
\(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {AHB} = {180^0}\) . Vậy tứ giác \(AHBM\) nội tiếp
b) Ta có tứ giác \(BFEC\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {AEF} = \widehat {ATC} \Rightarrow \widehat {ACT} = \widehat {AZE} = {90^0}\)
Mà \(PQ//FE\) suy ra \(Q\) đối xứng với \(P\) qua \(OA\)
c) Tiếp tuyến \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(L\), \(AL\) cắt đường tròn tại \(J\). Dễ có \(L{B^2} = LS.LA = LS.LO\)
Suy ra tứ giác \(AJSO \Rightarrow \widehat {JSL} = \widehat {XSL} \Rightarrow \widehat {ASC} = \widehat {ABJ};\widehat {AJB} = \widehat {ACS} \Rightarrow \Delta ABJ \sim \Delta ASC\) (g.g)
Mà \(\Delta ABC \sim \Delta AEF\) (g.g). Giả sử \(AJ\) cắt \(FE\) tại \(K'\)\( \Rightarrow \Delta FAK' \sim \Delta ABS\) (g.g)
Vì \(S\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow K'\) là trung điểm \(FE \Rightarrow K \equiv K'\). Vậy tiếp tuyến tại \(B,\;C\) và \(AK\) đồng quy.