Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$ nội tiếp đường tròn

3/5

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right),$ các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $AD$ và $\left( O \right),$ $M$ là điểm đối xứng với $P$ qua $AB.$

a) Chứng minh tứ giác $AHBM$ nội tiếp.

b) Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $EF$ cắt $\left( O \right)$ tại $Q$. Chứng minh $Q$ đối xứng với $P$ qua $OA.$

c) Gọi $K$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh đường thẳng$AK$ và các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B,C$ đồng quy.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$ nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

a) Vì $M$ là điểm đối xứng với $P$ qua $AB$ nên $\widehat {AMB} = \widehat {APB}$

Mà $\widehat {APB} = \widehat {ACB}$(góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mặt khác: $\widehat {ACB} = \widehat {AHE}$(vì tứ giác $AEHF$ nội tiếp)

Ta được$\widehat {AMB} = \widehat {AHE}$ do đó tứ giác $AHBM$ nội tiếp.

b) Kẻ tiếp tuyến \[Ax\] của đường tròn $\left( O \right)$. Ta có $\widehat {xAC} = \widehat {ABC}$

\[\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\](vì tứ giác $BCEF$ nội tiếp)

$ \Rightarrow \widehat {xAC} = \widehat {AEF}$

\[ \Rightarrow Ax,EF\] song song. Mà \[OA \bot Ax\]$ \Rightarrow OA \bot EF$

Theo giả thiết $PQ,EF$ song song với nhau nên$PQ \bot OA.$ Do đó theo định lý đường kính, dây cung ta được $Q$ đối xứng với $P$ qua $OA$.

$Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$ nội tiếp đường tròn (ảnh 2)$

c)Tiếp tuyến tại $B,C$ cắt nhau ở $T$. Gọi $I = AT \cap \left( O \right)$. Lấy $J$ là trung điểm của $BC$$ \Rightarrow O,J,T$ thẳng hàng.

Có $TI.TA = T{B^2} = TJ.TO$$ \Rightarrow $ tứ giác $AOJI$ nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {IJT} = \widehat {OAI} = \widehat {OIA} = \widehat {OJA} \Rightarrow \widehat {AJB} = \widehat {BJI}$$ \Rightarrow JB$ là phân giác của góc $\widehat {AJI}$

Xét $\widehat {AJC} = 180^\circ - \widehat {AJB} = 180^\circ - \frac{1}{2}\widehat {AJI} = 180^\circ - \frac{1}{2}\widehat {AOI} = 180^\circ - \widehat {ACI} = \widehat {ABI}$

Xét $\Delta AJC$ và $\Delta ABI$có: $\widehat {AJC} = \widehat {ABI}$; $\widehat {ACJ} = \widehat {AIB}.$

$ \Rightarrow \widehat {JAC} = \widehat {BAI}{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Mặt khác $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ đồng dạng có hai đường trung tuyến tương ứng là $AK,AJ$

$ \Rightarrow \widehat {KAF} = \widehat {JAC}{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {FAK} \Rightarrow I \in AK$$ \Rightarrow A,I,K$ thẳng hàng. Vậy đường thẳng$AK$ và hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B$ và $C$ đồng quy.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Tin Phú Thọ có đáp án

Cho tam giác nhọn \(ABC\) với \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn