Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn

5/5

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AE.$ Gọi $D$ là một điểm bất kì trên cung không chứa điểm $A$ ($D$ khác $B$ và $E$). Gọi $H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên các đường thẳng $BC,{\rm{ }}CA$ và $AB.$

a) Chứng minh ba điểm $H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $\frac{{AC}}{{DI}} + \frac{{AB}}{{DK}} = \frac{{BC}}{{DH}} \cdot $

c) Gọi $P$ là trực tâm của $\Delta ABC,$ chứng minh đường thẳng $HK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $DP.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hình vẽ

$Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

a)Tứ giác $BKDH$nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {KBD} = \widehat {KHD}{\rm{ }}\left( 1 \right).\]

Tứ giác $ABDC$nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {KBD} = \widehat {ACD}{\rm{ }}\left( 2 \right)$ (cùng bù với $\widehat {ABD}$)

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {KHD} = \widehat {ICD}{\rm{ }}\left( 3 \right).$

Lại có tứ giác $CIHD$nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {IHD} + \widehat {ICD} = {180^0}{\rm{ }}\left( 4 \right).$

Từ $\left( 3 \right),{\kern 1pt} \;\left( 4 \right)$suy ra $\widehat {IHD} + \widehat {DHK} = {180^0}$

$ \Rightarrow K,\,I,\,H$ thẳng hàng.

$ \Rightarrow \frac{{CH}}{{HD}} = \frac{{AB}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KD}}\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$

b)$ \Rightarrow \frac{{BH}}{{DH}} = \frac{{AC}}{{DI}} - \frac{{IC}}{{DI}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)$

Từ $\left( 5 \right),{\rm{ }}\left( 6 \right)$ và $\left( 7 \right)$ suy ra $\frac{{CH}}{{HD}} + \frac{{BH}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{KD}} + \frac{{AC}}{{DI}}.$

Vậy $\frac{{AC}}{{DI}} + \frac{{AB}}{{DK}} = \frac{{BC}}{{DH}} \cdot $

c)Đường thẳng $AP$ cắt $\left( O \right)$ tại $Q$ và đường thẳng $DH$ cắt $\left( O \right)$ tại $S.$

Ta có $\widehat {SAC} = \widehat {SDC}$ (cùng chắn )

Tứ giác $CDHI$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {HDC} = \widehat {HIA} \Rightarrow \widehat {SAC} = \widehat {HIA}$

Suy ra đường thẳng \[AS\] song song với đường thẳng \[HK.\]

Ta có $AQ$//$DS$ (cùng vuông góc với $BC$)

$ \Rightarrow AQDS$ là hình thang, nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$

$ \Rightarrow AQDS$ là hình thang cân $ \Rightarrow \widehat {QDS} = \widehat {ASD}.$

Qua $P$ vẽ \[PR\]//\[AS \Rightarrow \widehat {ASD} = \widehat {PRD}\] (đồng vị)

Suy ra $\widehat {PRD} = \widehat {QDR} \Rightarrow PQDR$ là hình thang cân

Ta thấy $BC \bot PQ$ tại trung điểm $PQ$, suy ra $BC$ là trục đối xứng của hình thang cân $ \Rightarrow HD = HR.$

Xét $\Delta DPR$ có $HD = HR$ và \[HK\]//\[PR\]

$ \Rightarrow HK$ đi qua trung điểm của $DP.$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Quảng Bình có đáp án

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn