Cho tam giác nhọn ABC không cân ( AB bé hơn AC ) có đường tròn ngoại tiếp

3/5

Cho tam giác nhọn \[\Delta \,ABC\] không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh \[BC\,,\,\,CA\,,\,\,AB\] lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng:

a) \[A{F^2} = AP.AD\].

b) Tứ giác PQID nội tiếp và \[N{B^2} = NM.NA.\]

c) QA là phân giác của \[\widehat {\,PQ{T_\,}\,}\].

d) \[\widehat {\,AD{F_\,}\,} = \widehat {\,QD{E_\,}\,}\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác nhọn ABC không cân ( AB bé hơn AC ) có đường tròn ngoại tiếp (ảnh 1)

a) Xét \[\Delta \,AFP\,\] và \[\Delta \,ADF\] có:

(đpcm).

b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của \[\left( I \right)\,\, \Rightarrow \,AI\,\] là trung trực của FE \[\, \Rightarrow \,AI\, \bot \,FE\] tại Q.

\[\, \Rightarrow \,A\,{F^2} = AQ.AI\] (hệ thức lượng) \[\, \Rightarrow \,AQ.AI = AP.AD\,\,\left( { = A\,{F^2}} \right)\,\, \Rightarrow \,\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AI}}{{AD}}\].

Xét \[\Delta \,APQ\] và \[\Delta \,AID\] có: \[\,\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AI}}{{AD}}\,\,\left( {cmt} \right)\,;\,\,\widehat {\,A\,\,\,}Chung\]

nội tiếp (vì: \[\widehat {\,AQP\,}\]là góc ngoài tại đỉnh Q)

Ta có: \[\widehat {\,{A_1}\,}\, = \,\,\widehat {\,{A_2}\,}\] (vì: AI là tia phân giác)

Xét \[\Delta \,ABN\] và \[\Delta \,BMN\] có: \[\,\widehat {\,{B_1}\,}\, = \,\,\widehat {\,{A_2}\,}\,\,\left( {cmt} \right)\,;\,\,\widehat {\,N\,\,\,}Chung\]

(đpcm)

c) Ta có:

Mà: \[\,\left\{ \begin{array}{l}\,\,\widehat {\,IDP\,} = \,\,\widehat {\,AQP\,}\,\left( {cmt} \right)\\\widehat {\,AQT\,}\, = \,\,\widehat {\,IQD\,}\,\left( {doi\,\,dinh} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {\,AQP\,}\, = \,\widehat {\,AQT\,}\,\, \Rightarrow \,\] đpcm

d) Gọi \[K\] là giao điểm của \[AI\,\] với

Mà: đpcm.