Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó MF=DF;EN=ED.

Chu vi ΔDEF=DF+FE+ED=MF+FE+EN

Chu vi ΔDEF nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi ΔDEFnhỏ nhất.

Thật vậy, khi AD⊥BCthì chu vi ΔDEF bằng MN và MN nhỏ nhất.      (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi ΔDEF bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN.  (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của ΔABC.

Thật vậy, xét ΔDEF có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: DC⊥DA nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của ΔDEF.

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra FC⊥FB hay CF⊥AB.

Chứng minh tương tự, ta được BE⊥AC.

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.