Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và các đường cao AD, BE, CF. Gọi I

Do BE là phân giác trong góc FED nên HK = HI

\[ \Rightarrow \widehat {HKM} = \widehat {HIM\;\;}\;\;\;\;(1)\]

Ta có \[\widehat {MHF} = 90^\circ - \widehat {FAH} = 90^\circ - \widehat {FEH} = 90^\circ - \widehat {IEH}\]

Và \[\widehat {KIE} = 90^\circ - \widehat {IEH} \Rightarrow \widehat {MHF} = \widehat {KIE}\]

Do đó tứ giác FIMH nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {HIM} = \widehat {HFM}\]     (2)

Do tứ giác FIMH nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {FMH} = \widehat {HIF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HMN} = 90^\circ \]

và \[\widehat {HKN} = 90^\circ \]nên tứ giác HMNK nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {HNM} = \widehat {HKM}\]      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {HNM} = \widehat {HFM}\]nên FHN cân tại H có đường cao MH

\[ \Rightarrow \]MF = MN \[ \Rightarrow \]FAN cân tại A

Từ đó ta chứng minh được A, N, S thẳng hàng.