Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Biết rằng EH = 4 cm và góc EAH = 30 độ, khi đó ED = a (cm). Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a thỏa mãn bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Vì CE là đường cao của DABC nên EC ^ AB tại E.

Do đó, DAEH vuông tại E.

Suy ra EH = AH. sin\(\widehat {{\rm{EAH}}}\), suy ra AH = \(\frac{{{\rm{EH}}}}{{\sin \widehat {{\rm{EAH}}}}} = \frac{4}{{\sin 30^\circ }} = 8\) (cm).

Gọi G là trung điểm của AH.

Vì DAEH vuông tại E có EG là đường trung tuyến nên GA = GH = GE = \(\frac{1}{2}\)AH.

Vì BD là đường cao của DABC nên BD ^ AC tại D.

Do đó, DADH vuông tại D.

Mà DG là đường trung tuyến của tam giác đó GD = GH = GA.

Suy ra: GD = GA = GH = GE.

Suy ra 4 điểm G, E, A, H thuộc đường tròn đường kính AH.

Mà ED là dây không đi qua tâm O, suy ra ED < AH hay ED < 8 cm.

Mà a là số nguyên lớn nhất nên a = 7.