Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) góc EFH = góc HBC \góc FEH = góc HBC

a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ .\)

Do vậy các tam giác vuông BFC và BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Vì \(\widehat {EFC}\) và \(\widehat {EBC}\) là hai góc nội tiếp của tứ giác này và cùng chắn cung CE nên \(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}.\)

Suy ra \(\widehat {EFH} = \widehat {EFC} = \widehat {EBC} = \widehat {HBC}.\)

Tương tự ta có: \(\widehat {FEH} = \widehat {HCB}.\)

b) Ta có: \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ .\)

Do vậy các tam giác vuông AEH và AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Suy ra tứ giác AEFH nội tiếp đường tròn đường kính AH. Do \(\widehat {EHF}\) và \(\widehat {EAF}\) là hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp AEHF nên: \(\widehat {EHF} + \widehat {EAF} = 180^\circ .\)

Suy ra \[\widehat {BHF} = 180^\circ - \widehat {BHC} = 180^\circ - \widehat {EHF} = \widehat {BAC}.\]

Tương tự \(\widehat {CHE} = \widehat {BAC}.\)

Vậy \(\widehat {BHF} = \widehat {BAC} = \widehat {CHE}.\)