Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB,AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.

8/8

Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[BC = 8\] cm. Đường tròn tâm \[O\] đường kính \[BC\] cắt \[AB,\,\,AC\]lần lượt tại \[E\] và \[D\]. Hai đường thẳng \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\].

a) Chứng minh: \[AH\] vuông góc với \[BC\].

b) Gọi \[K\] là trung điểm của \[AH\]. Chứng minh tứ giác \[OEKD\] nội tiếp.

c) Cho góc \[\widehat {BAC} = 60^\circ \]. Tính độ dài đoạn \[DE\] và tỉ số diện tích của hai tam giác \[AED\] và \[ABC\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB,AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H. (ảnh 1)

a) Ta có: \[\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[CE \bot AB,\,\,BD \bot AC\].

Khi đó, tam giác \[ABC\] có 2 đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Nên \[AH\] là một đường cao của tam giác \[ABC\].

Suy ra \[AH\] vuông góc \[BC\].

b) Ta có: \[\widehat {AEH} + \widehat {ADH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].

Suy ra tứ giác \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\].

Vì \[K\] là trung điểm của \[AH\] nên \[K\] là tâm của đường tròn đường kính \[AH\].

\[ \Rightarrow \widehat {EKD} = 2\widehat {EAD}\] (tính chất góc ở tâm)

Lại có: \[\widehat {EOD} = 2\widehat {EBD}\] (tính chất góc ở tâm)

Suy ra \[\widehat {EKD} + \widehat {EOD} = 2\left( {\widehat {EAD} + \widehat {EBD}} \right) = 2.90^\circ = 180^\circ \] (do tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\])

Mà \[\widehat {EKD}\] và \[\widehat {EOD}\] là hai góc đối diện trong tứ giác \[OEKD\].

Vậy tứ giác \[OEKD\] nội tiếp.

c) +) Tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\] và có \[\widehat {BAD} = \widehat {BAC} = 60^\circ \].

Suy ra \[\widehat {ABD} = 90^\circ - \widehat {BAD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].

Suy ra \[\widehat {EOD} = 2\widehat {EBD} = 2\widehat {ABD} = 2.30^\circ = 60^\circ \].

Lại có tam giác \[OED\] có \[OE = OD\] (cùng bằng bán kính) và \[\widehat {EOD} = 60^\circ \] nên \[OED\] là tam giác đều.

Suy ra \[DE = OE = \frac{{BC}}{2} = \frac{8}{2} = 4\] (cm).

+) Tứ giác \[BEDC\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\].

\[ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \]

Mà \[\widehat {EDC} + \widehat {ADE} = 180^\circ \] (kề bù)

Nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\].

Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ABC\] có

\[\widehat A:{\rm{chung}}\]

\[\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\]

Do đó, (g – g).

Suy ra \[\frac{{{S_{ADE}}}}{{S{ & _{ABC}}}} = {\left( {\frac{{DE}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{8}} \right)^2} = \frac{1}{4}\].