Cho tam giác nhọn ABC (^B>^C) phân giác AM. Gọi O, O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại

a) Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OA = OB; O₁ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB nên O₁A = O₁B.

Suy ra OO₁ là đường trung trực của AB.

Tương tự OO₂, O₁O₂ lần lượt là đường trung trực của AC, AM.

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AC, AM, AB; N là giao điểm của QO₂ và AC.

Khi đó O₁Q ⊥ AM, O₁R ⊥ AB nên AQO1^=ARO1^=90°

Tam giác AQO₁ vuông tại Q nên nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Tam giác ARO₁ vuông tại R nên nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Do đó tứ giác AQO₁R nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Suy ra RAQ^+RO1Q^=180° (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180°).

Nên RAQ^=180°-RO1Q^.

Mà RO1Q^+QO1O^=180° (hai góc kề bù) suy ra QO1O^=180°-RO1Q^.

Do đó QO1O^=RAQ^=180°-RO1Q^ (1)

Mặt khác, O2NP^=ANQ^ (đối đỉnh) nên 90°-O2NP^=90°-ANQ^.

Hay NO2P^=QAN^. (2)

Do AM là phân giác của BAC^ nên BAM^=MAC^ hay RAQ^=QAN^. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra QO1O^=NO2P^ hay O2O1O^=O1O2O^.

Do đó, tam giác OO₁O₂ cân tại O.