Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BE,CFcắt nhau ở H. (a) Chứng minh bốn điểm B,F,E,Ccùng thuộc một đường tròn. (b) Tia EF cắt tia CB tại M. Chứng minh : MF.

a) Chứng minh được \[\widehat {BEC} = {90^0}\]

suy ra B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC

Chứng minh được \(BFC={90}^{0}\)suy ra B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy bốn điểm \[B,F,E,C\]cùng thuộc đường tròn đường kính BC

b) Vì tứ giác \(BFEC\) nội tiếp nên góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {MBF}\) (cùng bù với \(\widehat {FBC}\)).

Xét và có:

Góc \(\hat M\) chung; \(\widehat {MEC} = \widehat {MBF}\) (cmt).

(g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{MF}} \Rightarrow \) \(MF \cdot ME = MB \cdot MC\) (đpcm).

c) 

Chứng minh được H là trực tâm \(ΔABC\)

Từ đó suy ra bốn điểm \[B,F,H,D\]cùng thuộc đường tròn đường kính BH

Suy ra $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

Xét đường tròn đường kính BC\(có\\[\\widehat \{EFC\} = \\widehat \{EBC\}\\]\) ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Suy ra \[\widehat {EFC} = \widehat {CFD}\] khi đó \(FC\)là tia phân giác \(\widehat {EFD}\)\(\left. đpcm \right.\)

Chứng minh được FB là phân giác trong tại đỉnh F của tam giác FMD

Mà FC là phân giác ngoài tại đỉnh F tam giác FMD

Suy ra $\frac{CD}{CM}=\frac{BD}{BM}(=\frac{FD}{FM})$

Từ đó suy ra $\frac{AC}{QB}=\frac{CM}{BM}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BP} Suy ra BP = BQ$