Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP

4/5

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của \[\widehat {{\rm{ABC}}}\] cắt AP tại I.

a) Chứng minh \[{\rm{PI = PB}}{\rm{.}}\]

b) Chứng minh \[\widehat {{\rm{IMB}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{INA}}}.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP (ảnh 1)

a) Chứng minh \[{\rm{PI = PB}}{\rm{.}}\]

Ta có \[\widehat {{\rm{BAP}}}\,{\rm{ = }}\,\widehat {{\rm{CAP}}}\] (vì sđ= sđ) .

\[\widehat {{\rm{BIP}}}\,{\rm{ = }}\,\widehat {{\rm{BAI}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ABI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{PAC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{PBC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ PBI}}}{\rm{.}}\]

Suy ra tam giác PBI cân tại P. Do đó PI = PB.

b) Chứng minh \[\widehat {{\rm{IMB}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{INA}}}{\rm{.}}\]

+ Trong tam giác vuông BNP tại B có: \[{\rm{B}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{MP}}{\rm{.NP}}\]\[ \Rightarrow \frac{{{\rm{BP}}}}{{{\rm{MP}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{BP}}}}\] hay \[\frac{{{\rm{IP}}}}{{{\rm{MP}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{IP}}}}\].

+ Hai tam giác PMI và PIN có: \[\widehat {{\rm{IPM}}}\,{\rm{ = }}\,\widehat {{\rm{NPI}}}\] và \[\frac{{{\rm{IP}}}}{{{\rm{MP}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{IP}}}}\] nên hai tam giác này đồng dạng.

Suy ra \[\widehat {{\rm{PMI}}}\,{\rm{ = }}\,\widehat {{\rm{PIN}}}\].

+ Ta có \[\widehat {{\rm{IMB}}}\,\,{\rm{ = }}\widehat {{\rm{PMI}}}\, - {\rm{90}}^\circ \], \[\widehat {{\rm{INA}}}\,{\rm{ = }}\widehat {{\rm{PIN}}}\, - \widehat {{\rm{IAN}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{PMI}}}\, - {\rm{90}}^\circ \]. Suy ra \[\widehat {{\rm{IMB}}}\,\,{\rm{ = }}\,\widehat {{\rm{INA}}}{\rm{.}}\]