Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE, CF. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

Vẽ hình đến câu a) 

a

Ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(vì CF là đường cao), nên điểm F thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Ta có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(vì BE là đường cao), nên điểm E thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BC

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC

b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và EF, I là giao điểm của AK và (O). Chứng minh: \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\)và .

b

Vì tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)( cùng bù với góc BFE )

Mà \(\widehat {AIB} = \widehat {ACB}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của (O))

Vậy \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\)

Chứng minh được hai tam giác AEF và ABC đồng dạng,

Mà K, M là trung điểm của EF và BC.

Chứng minh được hai tam giác AKF và AMC đồng dạng , suy ra \(\widehat {FAK} = \widehat {CAM}\)

Từ đó chứng minh được  (gg)

c) Gọi N là giao điểm của \[AM\] và EF. Kẻ ND vuông góc với BC tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt \[BC\] tại Q. Chứng minh \(QB.DC = QC.DB\).

c

Tứ giác \(BFEC\)nội tiếp đường tròn tâm M nên \(ME = MF\), dẫn đến \(MK \bot EF\). Do đó tứ giác \(NKDM\)nội tiếp, suy ra

\(\widehat {DKN} = 180^\circ - \widehat {DMN} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - \widehat {AKE}\)

Vậy \(A,K,D\)thẳng hàng

Ta có do đó :

\(\frac{{BI}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AM}};\,\frac{{CI}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AM}}\), Từ đây ta suy ra \(\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 3 \right)\)

Lại có nên \(\frac{{DB}}{{BI}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\& \frac{{DC}}{{CI}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)

Kết hợp với (3) ta suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}(4)\)

Mặt khác ta có hai tam giác \(QAB\)và \(QCA\)đồng dạng nên

\(\frac{{QA}}{{QC}} = \frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Từ đó suy ra \(\frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{QA}}{{QC}}.\frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) ta thu được

\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{QB}}{{QC}}\,hay\,\,QB.DC = QC.DB\)