Cho tam giác nhọn ABC , ( {AB < AC} nội tiếp đường tròn

a) Chứng minh \[AL.CB = AB.KL\].

Xét hai tam giác \[AKL\] và \[ACB\], có:

+ \[\widehat A\] chung

+ \[AK.AB = A{H^2} = AL.AC \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AL}}{{AB}}.\]

Suy ra hai tam giác \[AKL\] và \[ACB\] đồng dạng.

Suy ra \[\frac{{AL}}{{AB}} = \frac{{KL}}{{CB}} \Rightarrow AL.CB = AB.KL.\]

b) Lấy điểm  \[E\] trên đoạn thẳng  \[AD\] sao cho \[BD = DE\]. Chứng minh \[E\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC.\]

Ta có \[D\] là điểm chính giữa trên cung nhỏ \[BC\] nên \[AE\] là đường phân giác trong của góc \[A\] của tam giác \[ABC.\]   (*)

+ Tam giác \[DBE\] cân tại \[D\] nên : \[\widehat {BED} = \widehat {EBD}\,\,\,\left( 1 \right)\].

+ \[\widehat {BED} = \widehat {BAD} + \widehat {ABE} = \widehat {BCD} + \widehat {ABE} = \widehat {DBC} + \widehat {ABE}\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

+ Ta có \[\widehat {EBD} = \widehat {DBC} + \widehat {EBC}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\]

Từ (1), (2), (3) suy ra \[\widehat {ABE} = \widehat {EBC}\] hay \[BE\] là phân giác trong của góc \[B\] của tam giác \[ABC\,\,\,\,\,\left( {**} \right).\]

Từ (*) và (**) suy  ra \[E\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC.\]

c) Đường thẳng \[KL\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[M,N\] (\[K\] nằm giữa  \[M,L\]).  Chứng minh \[AM = AN = AH.\]

+ Hai tam giác \[AKL\] và \[ACB\] đồng dạng.

Suy ra 

+ Chứng minh được hai tam giác \[ALN\] và \[ANC\] đồng dạng vì có góc \[A\] chung và  \[\widehat {ANL} = \widehat {ACN}\] (cùng chắn 2 cung bằng nhau).

Suy ra \[\frac{{AL}}{{AN}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow A{N^2} = AL.AC.\]

Mà \[AL.AC = A{H^2} \Rightarrow AN = AH\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\]

Từ (4) và (5) ta suy ra \[AM = AN = AH.\]