Cho tam giác nhọn ABC ( AB > AC ) . Đường tròn ( I ) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại F , E . Đường thẳng BE cắt CF tại H và đường thẳng AH cắt BC tại D . a) Chứng

a) Chứng minh tứ giác \(BFHD\) nội tiếp.

- Xét đường tròn \(\left( I \right)\)

     \(\widehat {CFB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow CF \bot AB\)

     \(\widehat {CFB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BE \bot AC\)

     Suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác\(ABC\) hay \(AH \bot BC \Rightarrow \)\(\widehat {HDB} = {90^0}\)

- Xét tứ giác \(BFHD\)

     \(\widehat {CFB} = \widehat {HDB} = {90^0}\)(chứng minh trên)

     \( \Rightarrow \widehat {CFB} + \widehat {HDB} = {180^0}\)

tứ giác \(BFHD\) có tổng hai góc đối \(\widehat {CFB},\widehat {HDB}\) bằng \({180^0}\) nên tứ giác \(BFHD\) nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác \(ABDE\) nội tiếp.

Gọi  \(O\) là trung điểm\[AB\].

Xét tam giác \[ADB\] có \[\widehat {ADB} = {90^0}\] và \[DO\] là đường trung tuyến nên \[OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB\] \[\left( 1 \right)\]

Xét tam giác \[AEB\] có \[\widehat {AEB} = {90^0}\] và \[EO\] là đường trung tuyến nên \[OE = OA = OB = \frac{1}{2}AB\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\]và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[OD = OE = OA = OB\]

Vậy tứ giác \(ABDE\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm\[AB\].