Cho tam giác MNP vuông tại M có MN < MP. Tia phân giác của góc N cắt MP tại (a) Chứng minh tứ giác AHMI là hình thang vuông. (b) Gọi O là giao điểm của MH và NI, đường thẳng AO cắt MN tại

a) Xét tứ giác AHMI có

MH // IA (cùng vuông góc với NP) Suy ra tứ giác AHMI là hình thang

Lại có: \[\widehat {MHP} = 90^\circ \] (do MH vuông góc với NP).

Suy ra tứ giác AHMI là hình thang vuông.

b) – Chứng minh tứ giác AMKH là hình thang

– Chứng minh hình thang AMKH có 2 đường chéo hoặc 2 góc kề 1 đáy

bằng nhau để suy ra AMKH là hình thang cân.

Xét hai tam giác vuông \[\Delta MNI\] và \[\Delta ANI\]có

Cạnh huyền NI chung.

\(\widehat {MNI} = \widehat {ANI}\) (do \(NI\) là tia phân giác của \(\widehat {ANM}\)).

Do đó \(\Delta MNI\; = \;\Delta ANI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(MN\; = \;AN\) và \(IM\; = \;IA\).

Do đó, \(NI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \({\rm{MA}}\).

Trong \(\Delta MNA\) có hai đường cao \(MH\) và \(NI\) cắt nhau tại \(O\).

Do đó \(O\) là trực tâm của \(\Delta MNA\) nên \(AO \bot MN.\)

Mà \(AO\) cắt \(MN\) tại \(K\), nên \(AK \bot MN\).

Ta có \(AK \bot MN\);\(MP \bot MN\) (do \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\)) nên \(AK\,{\rm{//}}\,MP.\)

Xét \({\rm{\Delta }}NM\;P\) có \(AK\,{\rm{//}}\,MP\), theo hệ quả định lí Thalès: \(\frac{{NK}}{{NM}} = \frac{{NA}}{{NP}}\).

Mặt khác, \(NK = NH\) (vì \(K\) và \(H\) là các chân đường cao hạ từ \(A\) và \(M\) trong tam giác cân \(MNA\)).

Vì \(\frac{{NK}}{{NM}} = \frac{{NH}}{{NA}}\) (do \(NM = NA\)), theo định lí Thalès đảo trong \({\rm{\Delta }}NMA\), ta có \(KH{\rm{\;//}}\,MA\).

Tứ giác \(AMKH\) có \(KH{\rm{\;//}}\,MA\) nên là hình thang.

Hình thang \(AMKH\) có \(\widehat {KMA} = \widehat {HAM}\) nên \(AMKH\) là hình thang cân.

Vậy tứ giác \(AMKH\) là hình thang cân.