Cho tam giác MNP vuông cân tại P có cạnh PN=5cm. Một đường thẳng d bất kì đi qua đỉnh P và cắt cạnh MN tại 1 điểm nằm giữa M và N. C

Gọi \(MH,\,\,NK\) lần lượt là khoảng cách từ \(M,\,\,N\) đến đường thẳng \(d.\) Khi đó \(MH \bot d,\,\,NK \bot d.\)

Do \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\widehat {{P_1}} + \widehat {{P_2}} = 90^\circ .\) (1)

Do \(\Delta MHP\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {{P_1}} + \widehat {PMH} = 90^\circ .\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.\)

Xét \(\Delta MHP\) (vuông tại \(H)\) và \(\Delta NPK\) (vuông tại \(K)\) có:

\(MP = PN\) (do \(\Delta MNP\) cân tại \(P),\)

\(\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.\)

Do đó \(\Delta MHP = \Delta NPK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(MH = PK\) (hai cạnh tương ứng).

Do \(\Delta NKP\) vuông tại \(K\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\(P{N^2} = P{K^2} + N{K^2} = M{H^2} + N{K^2}\)

Mà \(PN = 5{\rm{\;cm}}\) nên \(M{H^2} + N{K^2} = {5^2} = 25\) (không thay đổi).

Vậy tổng bình phương các khoảng cách từ \(M\) và \(N\) đến đường thẳng \(d\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d.\)