Cho tam giác KBC vuông tại K (KB < KC). Tia phân giác của B cắt cạnh KC tại H Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BH cắt đường thẳng BH tại I. a) Chứng minh: tam giác BHK đồng dang CHI  .

Hướng dẫn giải

a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:

\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]

\[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó ΔBHK∽  ΔCHI  (g.g) .

b) Từ câu a:  suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))

Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).

Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:

\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)

\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó ΔICH∽  ΔIBC  (g.g) .

Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).

d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]

Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]

Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên

\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].

Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\).             (1)

Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]

Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\).          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].

Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).